Når man vælger Matematik A i gymnasiet, træder man ind i en verden, hvor man ikke blot lærer at regne, men også at forstå de dybere strukturer og sammenhænge i matematikken.
Et af de centrale områder i faget er differential- og integralregning – to begreber, der spiller en afgørende rolle både i matematisk teori og i virkelighedens anvendelser.
Differentiering handler grundlæggende om, hvordan en funktion ændrer sig – det vil sige, hvordan man beregner en hældning eller en ændringshastighed.
Det er en teknik, der gør os i stand til at analysere alt fra bevægelser og vækst til optimering af ressourcer. At lære differentiering betyder derfor også at lære at tænke dynamisk og løse problemer, hvor forandring er i fokus.
I denne artikel dykker vi ned i, hvad integration og differentiering egentlig betyder, og hvorfor de er så vigtige at forstå, hvis man vil have det fulde udbytte af Matematik A.
Hvornår og hvor kan jeg få brug for differentiering?
Historisk set blev differentiering brugt af søfolk til at bedre forstå, hvordan jorden, stjernerne og planeterne i solsystemet bevæger sig i forhold til hinanden. Men hvis vi lige ser bort fra manuel navigation til søs, hvad er så de andre anvendelser af differentiering i det moderne samfund?
Differentiering og integration er værktøjer, der kan hjælpe os med at løse mange problemer i den virkelige verden. For eksempel bruger forskellige industrier derivater til at finde minimums- og maksimumsværdier af ting, som omkostninger, fortjeneste, tab, styrke og mængden af materiale, der bruges i en bygningsgenstand. Løft dine karakterer og din selvtillid med individuel matematikhjælp.
Begrebet dukker også jævnligt op for dem, der arbejder inden for videnskab og teknik, især når man ser på adfærd og tendenser for objekter i bevægelse.
Men selv dem, der ikke arbejder direkte med matematik, naturvidenskab, datalogi eller fysik, vil stadig bruge nogle af disse værktøjer uden at vide det.
Hver gang nogen i erhvervslivet f.eks. bruger en tendens til at forvente noget, der sker i fremtiden, eller tænker over, hvor hurtigt deres afkast vil formere sig over en bestemt tid, bruger de optimeringsmetoder, der, som vi nu ved, er direkte relateret til differentiering og integration.
Ved at vælge matematik på A-niveau vil du lære hvordan du udfører ovenstående begreber korrekt og konsekvent, så du kan drage fordel af optimeringsværktøjer i fremtiden.
En introduktion til grundlæggende differentieringsteknikker
Når man har en ligning for y skrevet med hensyn til x, er det nemt at bruge grundlæggende differentieringsteknikker til at finde den afledte. Disse teknikker er kendt af matematikere som eksplicit differentiering.
Men for ligninger, der er mere komplicerede at omarrangere, for eksempel når y står alene på den ene side af =-tegnet, er der brug for en anden tilgang. Den metode, der bruges til at udarbejde ligninger med flere variable, er implicit differentiation, hvilket er nemt, hvis du allerede ved, hvordan man bruger eksplicit differentiation!
Oplev hvor nemt det kan være at forstå matematik med et interaktivt matematik kursus online.
De grundlæggende regler for simpel differentiering
Den konstante regel
Nogle af jer spekulerer måske på, om der findes noget, der hedder grundlæggende differentiering, men det gør der! Tag for eksempel konstantreglen, som er som følger
\[f (x) = 5\] er en linje med en hældning på 0, derfor er dens afledte også 0.
Hvis \[f (x) = c (et vilkårligt tal)\], så er \[f'(x) = 0\].
Potensreglen
Hvis \[f(x) = x^4\], skal du for at finde den afledte værdi tage potensen og bringe den foran x , før du reducerer potensen med 1. Her ville det betyde, at \[f'(x) = 4x^3\] Når du har forstået denne enkle proces, kan du gentage den igen og igen. Denne regel er ligesom den ovenstående konstant og fungerer for enhver potens, uanset om den er positiv, negativ eller en brøk.
Bemærk: \[x i nulpotens = 1\].
Reglen om konstant multiplum
Selv om den funktion, du skal differentiere, begynder med en koefficient, har det ingen indflydelse på den proces, du anvender. Fortsæt med at differentiere funktionen ved hjælp af den passende regel, hvor koefficienten forbliver på plads indtil det sidste trin, hvor du forenkler svaret ved at gange med den præsenterede koefficient. Sådan er det:
Hvis du ser \[y = 5x^3\], kan du udlede, at den afledte af \[x^3\] er \[3x^2\], og at den afledte af \[5(x^3)\] derfor er \[5(3x^2)\] Det er først til sidst, at du forenkler på denne måde: \[5(3x^2)\] er lig med \[15x^2\], så \[y' = 15x^2\].
Reglen om summen
Når du står over for en sum af udtryk, kan du løse problemet ved at udregne den afledte værdi af hvert udtryk for sig, sådan her.
Spørgsmål: Hvad er \[f'(x)\], hvis \[f(x) = x^6 + x^3 + x^2+ x + 10\].
Svar: \[f'(x) = 6x^5+ 3x^2 + 2x + 1\].
Forskelsreglen
En difference er det modsatte af en sum og fungerer ligesom en subtraktion. Du skal derfor løse opgaven på følgende måde, uden at ændre på subtraktionstegnet.
Spørgsmål: Hvis \[y =3x^5 - x^4 - 2x^3 + 6x^2+ 5x\] så
Svar: \[y'= 15x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x + 5\].
Vil du også lære at få styr på logaritme regler nu du er igang?
En introduktion til integrationsteknikker
Når det drejer sig om begrebet integration, dækker det endnu flere underemner og teknikker. De vigtigste emner i dette kapitel er Integration ved hjælp af dele, Trig-erstatninger, integraler, der involverer Trig-funktioner, integraler, der involverer rødder, integraler, der involverer kvadrater, partielle brøker, integrationsstrategi, tilnærmelse af bestemte integraler, ukorrekte integraler og endelig sammenligningstest for ukorrekte integraler.
En første smagsprøve på integration
Med så mange forskellige teknikker at udforske, lad os fokusere på integration ved hjælp af dele, som er det område, de fleste elever vil støde på i løbet af deres matematikstudier.
Integration af dele
Integration ved hjælp af dele er den særlige matematiske proces, man bruger til at integrere produkter af to funktioner.
Funktioner dukker nogle gange op som produkter af andre funktioner, og det kan være nødvendigt at integrere dem. Der findes en regel for denne proces, og når den er forstået, kan den bruges til at løse alle relevante problemer med integration ved hjælp af dele.
Teknikken vil sætte dig i stand til at angive formlen for integration ved hjælp af dele og integrere produkter af funktioner ved hjælp af teknikken. Er du forvirret? Tag et kig på disse eksempler.
Når man nærmer sig et problem med integration ved hjælp af dele, er det vigtigste at huske at omarrangere formlen.
For eksempel ved vi, at hvis
\[y = uv\] så \[\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}(uv)}{\text{d}x} = u \frac{\text{d}v}{\text{d}x} + v \frac{\text{d}u}{\text{d}x}\]
Når du har omarrangeret formlen, kan du sikkert integrere på begge sider på følgende måde
\[`\int_{}^{} u \frac{\text{d}v}{\text{d}x} dx = \int_{}^{} \frac{\text{d}(uv)}{\text{d}x} dx - \int_{}^{} v \frac{\text{d}u}{\text{d}x}dx`\]
før det sidste trin, som er at forenkle hele formlen. Dette vil i sidste ende efterlade dig med
\[`\int_{}^{} u \frac{\text{d}v}{\text{d}x} dx = u v - \int_{}^{} v \frac{\text{d}u}{\text{d}x}dx`\]
Hvorfor skal jeg lære integrationsteknikker?
Når vi nu har så mange programmer, der kan bruge integrationsteknikker til at forenkle og udregne formler, hvorfor skal vi så lære om metoderne som studerende?
Det enkle svar er, at ingen rigtig ved, om de rent faktisk kommer til at bruge disse værktøjer i fremtiden, men er det ikke rart at vide, hvordan den teknologi, man bruger, fungerer, og at vide, at man potentielt kan udføre udregningen, hvis computere nogensinde uddør, om end lidt langsommere (ikke at vi kan forvente, at det sker lige foreløbig!)?
Det samme gælder også forståelsen af analytisk mekanik eller hvorfor man skal kunne bevise matematiske formler, når man vælger matematik på A-niveau.
Nogle vil måske mene, at disse teknikker ikke har nogen praktisk anvendelse og derfor er lidt spild af tid, men det er vigtigt at minde sig selv om, at de professionelle bag pensummet blot forsøger at hjælpe dig med at opbygge en intellektuel forståelse af komplicerede matematiske processer og samtidig opmuntre dig til at udvikle logisk intuition.
Husk også, at selvom matematik på A-niveau måske tilbyder en noget rigid tilgang til at lære teknikker relateret til differentiering og integration, vil du i fremtiden have mulighed for at lære forskellige mønstre, nogle der endda kan være selvlærte, hvis du nogensinde beslutter dig for at følge trin og processer uden hjælp fra en computer.
Få hjælp fra en privatunderviser
Matematik på A-niveau kan være udfordrende, og nogle gange kan det være svært at følge med i undervisningen eller forstå komplekse emner som infinitesimalregning.
Her kan en privatunderviser være en stor hjælp. En privatunderviser kan tilpasse undervisningen præcist efter dine behov, tempo og læringsstil, så du får ekstra støtte lige dér, hvor det er svært. Det giver dig mulighed for at stille spørgsmål uden at føle dig presset, og du kan få gennemgået de områder, du synes er svære, i et trygt og uformelt miljø.
Med individuel vejledning bliver det ofte nemmere at opbygge en solid forståelse og selvtillid i faget, hvilket kan gøre en stor forskel for både dine karakterer og din motivation. Derfor kan privatundervisning være en værdifuld investering, hvis du vil have succes med matematik på A-niveau.
Kunne du lide denne artikel? Skriv en anmeldelse!
Loading...
