Alt der eksisterer er matematik. - Max Tegmark
I skolematematik lærer du om matematik intervaller og hvordan man beregner middelværdi og median. Medianen er en vigtig indikator ved analyse af sandsynligheder i geometri og statistik.
Mange elever synes, at matematik er et kompliceret og svært fag. Privatundervisning er et af de bedste måder at gøre læringen nemmere og mere effektiv.
I denne artikel vil vi se nærmere på, hvordan du finder medianen, men inden du begynder at læse, kan det være godt at genopfriske din hukommelse om det grundlæggende i matematik.
Hvad er medianen for noget?
Medianen er den værdi, der adskiller en række værdier i lige store dele. Medianen bruges ofte i statistik og er en af de mere nyttige måder at illustrere gennemsnit på.
Medianen er med andre ord den centrale værdi i en statistisk serie, for at få denne værdi rangerer du dataene i størrelsesorden. Ud fra rangeringen finder man medianen, som er tallet i midten af serien.
Som et eksempel kan vi se på en gruppe svømmere. Vi siger, at der i alt er ni svømmere, der svømmer to længder af et bassin og får deres tid målt i sekunder:
30,6, 29,1, 32,9, 35,1, 30,0, 36,4, 31,7, 35,5, 33,9.
I størrelsesorden fra laveste til højeste er tallene opstillet således: 29,1, 30,0, 30,6, 31,7, 32,9, 33,9, 35,1, 35,5, 36,4.
Medianværdien i dette tilfælde er 32,9.
Med denne information kan man opdele svømmerne i to grupper på hver side af den midterste værdi på 32,9.
Men hvad hvis en anden svømmer slutter sig til gruppen?
Denne svømmer har trænet markant længere og svømmer derfor hurtigere end de andre med en tid på 28,7 sekunder. Som en konsekvens af dette har vi nu fået en ny "midte" mellem værdierne 31,7 og 32,9.
For at beregne en median med et lige antal værdier, beregner du gennemsnittet af de to værdier ved siden af medianen. I eksemplet med ti svømmere finder vi medianen således: (31,7+32,9)/2 = 32,3
Konklusion:
- Hvis antallet af værdier i serien er ulige, er medianen i midten af alle værdier i rangorden.
- Hvis antallet af værdier i serien er lige, beregnes gennemsnittet af de to værdier ved siden af medianen.
Find medianen med diskrete variabler
I statistik defineres variabler som diskrete, når deres reelle værdi kan beregnes. Som et eksempel kan vi se på en klasse af testresultater. Lær mere om variabler med vores artikel om faktorisering.
I dette tilfælde var den maksimale score 20, og eleverne fik: 5, 12, 11, 10, 6, 17, 11, 12, 10, 13, 9, 11, 12, 8, 7, 10, 11, 10, 12 , 11, 9, 10, 8, 11.
For at finde medianen rangerer vi resultaterne i stigende rækkefølge i én række og antallet af elever, der modtog hver score i anden række.
- Række 1: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17.
- Række 2: 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 4, 1, 1.
- Tag hver værdi af række 2 og tilføj den til dens tilhørende værdi i række 1. 1, 2, 3, 5, 7, 12, 18, 22, 23, 24.
5 elever fik 10 point, en elev fik 17 point, 4 elever fik 12 point osv.
Ved at lægge de tidligere værdier sammen får du det, der kaldes den kumulative frekvens.
Dette er nyttigt til at analysere specifikke typer data. Find matematikhjælp hos Superprof for at få hjælp til at analysere data.
Eksempelvis fik 12 elever mindre end 10 point og dermed mindre end 50 % rigtige.
I nogle tilfælde kan du bruge den kumulative frekvens til at beregne resultater som en procentdel, hvilket er praktisk, når du har at gøre med store mængder data, såsom globale undersøgelser af større befolkningsgrupper.
Et eksempel på dette er medianlønnen. Den danske medianløn i 2021 var 39.625 kr., hvilket betyder, at halvdelen af den danske befolkning havde en månedsløn lavere end 39.625 kr.
Generel løsning for medianen
Som nævnt er medianen i en ulige dataindsamling den midterste værdi, som kan findes ved en manuel rangordning. Men vi kan også finde medianen med en generel matematisk regel: (N+1)/2
I vores ovenstående eksempel har vi 24 værdier.
Medianen er som sagt tallet i midten eller gennemsnittet mellem de to midterste værdier: N/2 og N+1/2.
Hvilket i vores eksempeltilfælde er mellem den 12. og 13. værdi: 10,5.
Hvis du har brug for at lære mere om forhold i matematik, så anbefaler vi at finde en dygtig matematikunderviser på Superoprof.
Beregn medianværdi i kontinuerte variabler
Kontinuerlige variabler er dataværdier, der kan måles til et uendeligt niveau af præcision. Lær mere med lektiehjælp online matematik.
Hvis vi tager temperaturer som eksempel, kan en kontinuerlig variabel vises sådan her: 30°C og 31°C kan være 30,1°C, 30,5°C, 30,99999°C eller 30,00001°C osv.
For at beregne medianen af en kontinuert variabel laver du først en kumulativ frekvenskurve for at etablere medianen og kvartilerne.
Som eksempel ser vi på, hvor mange der tjener mellem 5.000 kr. og 21.000 kr. om måneden.
Forestil dig følgende dataserie:
- 4 personer tjener mellem 5.000 kr. og 8.000 kr. om måneden.
- 31 personer tjener mellem 8.000 kr. og 1.100 kr. om måneden.
- 25 personer tjener mellem 11.000 kr. og 12.000 kr. om måneden.
- 52 personer tjener mellem 12.000 kr. og 15.000 kr. om måneden.
- 37 personer tjener mellem 15.000 kr. og 18.000 kr. om måneden.
- 18 personer tjener mellem 18.000 kr. og 20.000 kr. om måneden.
- 27 personer tjener mellem 20.000 kr. og 21.000 kr. om måneden.
N er med disse værdier lig med 230. Vi kan sætte den kumulative frekvens mod værdierne. For at illustrere situationen grafisk skal du sætte den kumulative frekvens på y-aksen og de øvre værdier af områderne på x-aksen.
I dette tilfælde kan du læse dataene uden en matematisk formel. Tegn blot en linje udad fra halvvejspunktet af y-aksen (enten 115 eller 50 %, hvis du vælger at konvertere til procent).
Kvartilerne kan findes ved henholdsvis 25 % og 75 % eller 57,6 og 172,5 til procenterne. I vores serie er 25 % lig med 9.700 kr. og 75 % svarer til 17.000 kr.
Ud fra vores beregninger kan vi drage de konklusioner, at 25 % af den testede prøve tjener mellem 17.000 kr. og 21.000 kr. om måneden.
Beregn medianværdien geometrisk
I geometri bruges medianen ofte, især når man studerer trekanter. Geometri kan ses som en kunstart, som du kan læse mere om i vores artikel om tessellation.
Nogle elever kan have svært ved at forstå begrebet trekantens median.
For en trekant er medianen den linje, der møder en af trekantens spidser til midtpunktet af den tilsvarende side. I en trekant, hvis hjørner er betegnet ABC, hvor medianen starter fra hjørne A, tegnes medianen fra hjørne A, indtil den skærer linjen mellem hjørnerne B og C.
Linjen fra hjørne A vil skære i midten af B og C, og hver side af krydset vil være lige lang. Hvis du laver de samme linjer, men med udgangspunktet i hjørnerne B og C, får du lige store trekanter.
Apollonius' sætning siger, at summen af kvadraterne på to af siderne i en trekant er lig med to gange summen af kvadratet af halvdelen af den tredje side og kvadratet af medianen af denne side.
De seks trekanter, du får ved at tage medianen af en trekant, er kongruente trekanterpar. Det punkt, hvor de krydser, er trekantens tyngdepunkt.
Medianen kan anvendes, selvom trekanten er ligebenet. En ligebenet trekant har to lige lange medianer.
I en ret vinkel kan medianen bruges til at finde hypotenusens midtpunkt. Hvis længden af medianen er halvdelen af længden af den følgende side, så er det en retvinklet trekant.
Pas på med ikke at forveksle middelværdi med median
Begå ikke den fejl at forveksle middelværdi med median. Begge kan bruges til at beregne dataserier, men gennemsnittet er mere påvirket af ekstreme værdier. Gennemsnitsværdien beregnes ved at lægge alle værdierne i en serie sammen og derefter dividere den med antallet af værdier i serien.
Med medianen vil de høje og lave tal have en mindre indflydelse på dens værdi. På grund af dette er medianen mere relevant for statistiske analyser. Hvis du tager indkomststatistik som eksempel, risikerer gennemsnitsværdier at sløre data fra dem med den højeste og laveste indkomst. Et lille antal millionærer og milliardærer kan nemt skabe misvisende resultater, så medianen bruges ofte til at illustrere gennemsnitsindkomster. Med medianen kan man også opdele dataene i kvartiler, hvilket tydeliggør præsentationen af dataene. En forståelse af nøgletal kan også gøre det lettere at forstå medianen.
Hvis du vil lære mere om matematik, så kontakt en af de dygtige og erfarne undervisere på Superprofs hjemmeside. Der finder du lærere med speciale i matematik for hele din skolegang, fra folkeskole til universitetsniveau. Der er mange måder at få hjælp fra en lærer på, så tilpas dig den måde, der fungerer bedst for dig baseret på, hvordan du foretrækker at studere og i henhold til dit budget.
Ansigt til ansigt undervisning er den mest almindelige måde at få hjælp på. Det involverer normalt en lærer, der hjælper en elev i deres hjem. Da der kun undervises én elev, kan læreren bruge al sin tid på netop den elev. Denne form for undervisning har en tendens til at koste mere, da det kræver mere tid og ressourcer for læreren.
Med onlineundervisning sparer en underviser tid, da han/hun ikke behøver at rejse til elevens hjem. Onlinehjælp er måske ikke så nyttig til praktiske fag, men til mere akademisk undervisning som matematik er fjernundervisning en glimrende mulighed.
Gruppeundervisning er en passende mulighed for dem med et mere stramt budget. Med flere deltagende elever har læreren mulighed for at opkræve mindre per elev. Denne form for undervisning vil ikke være lige så tilpasset dig, men det er en god mulighed for dem, der gerne vil spare penge og godt kan lide at lære sammen med andre.
Det er altid værd at prøve noget af, især når mange lærere tilbyder den første time undervisning helt gratis. Du har således god tid til at finde den lærer og undervisningsform, der passer perfekt til dig.
En god start er at stille dine krav, før du begynder at lede efter lærere. På Superprofs hjemmeside kan du gennemgå lærerens erfaring, hvad andre elever synes om dem, og hvor meget læreren tager. Før du begynder at lede, kan det være smart at indsnævre din søgning efter lærere, der passer til dine specifikke præferencer. Hos Superprof kan du finde lektiehjælp matematik København, der kan hjælpe dig med at opnå alle dine mål.
Kunne du lide denne artikel? Skriv en anmeldelse!
Loading...
