Med alle disse arabiske tal og mærkelige bogstaver er det meget nemt at blive forvirret i matematiktimerne! Matematik er den største fælles divisor (i grundlæggende aritmetik) i skolens læseplan.

Når det er sagt, har du sikkert på et tidspunkt misundt alle de små genier, der ser matematikopgaver som en sjov leg og kan rasle tallene for pi op.

Lad os forsøge at gå i deres fodspor, opdage matematiske paradokser og rejse mellem aritmetik, trigonometri og sandsynlighed.

Du vil lære om matematikkulturen, du vil blive overbevist, og i løbet af kort tid vil du blive din egen matematiklærer!

De bedste undervisere i matematik
Philip
5
5 (12 anmeldelser)
Philip
175kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Bent
5
5 (9 anmeldelser)
Bent
150kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Kenneth
5
5 (2 anmeldelser)
Kenneth
175kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Maja
5
5 (4 anmeldelser)
Maja
200kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Morten
5
5 (2 anmeldelser)
Morten
190kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Oskar
5
5 (7 anmeldelser)
Oskar
160kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Mads
Mads
250kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Christoffer
Christoffer
225kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Philip
5
5 (12 anmeldelser)
Philip
175kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Bent
5
5 (9 anmeldelser)
Bent
150kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Kenneth
5
5 (2 anmeldelser)
Kenneth
175kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Maja
5
5 (4 anmeldelser)
Maja
200kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Morten
5
5 (2 anmeldelser)
Morten
190kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Oskar
5
5 (7 anmeldelser)
Oskar
160kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Mads
Mads
250kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Christoffer
Christoffer
225kr
/t
Gift icon
1. undervisning gratis!
Kom i gang

Et logisk paradoks: en generel definition

Du behøver ikke at have en kandidatgrad eller være et matematisk geni for at få en forståelse for matematik. Det er ikke så komplekst som at tænke over filosofiske udsagn - alle kan lære matematik!

Virker det hele en smule abstrakt? Udtrykket paradoks henviser til "et udsagn eller en sætning, som på trods af en sund argumentation ud fra acceptable forudsætninger fører til en konklusion, der virker logisk uacceptabel eller selvmodsigende".

Studiet af disse fænomener er en klasse for sig.

Der er mange matematiske paradokser i naturen, som endnu ikke er blevet løst. Men der er mange andre, som nu er forstået og, hvad endnu mere interessant er, kan være nyttige for vores forståelse af verden.

Nogle kan være relateret til fysik og kemi, andre til videnskab og teknologi i almindelighed. Matematiske problemer og paradokser fascinerer matematikere. Et emne, der er lige så fascinerende som Pi.

Falske paradokser

Paradokset om Akilles og skildpadden

Ved første gennemlæsning synes dette paradoks at være let at forklare, men at løse det matematisk er en anden historie. Hvis du er i stand til at gøre det, er dine resultater bestemt til den internationale matematiske olympiade (IMO), verdensmesterskabet i matematik.

Paradokset er en genfortælling af en fabel, som vi alle kender: Haren og skildpadden. Tilbage i det 5. århundrede e.Kr. foreslog den græske filosof Zeno af Elea (490 f.Kr. 430 f.Kr.), at hvis man gav en skildpadde et forspring i et løb mod den trojanske krigshelt Achilles, ville han aldrig kunne overhale skildpadden. For at overhale skildpadden skal Achilles først indhente den, men hver gang han indhenter skildpadden, skaber den et nyt hul. Uanset hvor hårdt Achilles forsøger at indhente den, vil skildpadden altid åbne et nyt hul, uanset hvor begrænset det er.

matematiske paradokser
Tal, algebra, teoremer i en lærebog ... Kan give mange hovedpine! (Kilde: unsplash)

Selv om denne påstand virker helt latterlig, er den ret svær at forklare. Svaret ligger i den måde, vi opfatter rum, tid og bevægelse samt begreberne uendelighed på.

The Missing Dollar riddle falder i samme kategori af uformelle fejlslutninger, men den er en del af de tidløse matematiske gåder (ud over at være en måde at hæve regningen på ...). Den er god til at genopfriske dine logiske færdigheder!

Paradokset om det manglende kvadrat

Nej, det er ikke en kinesisk gåde! Det er et geometrisk crashkursus i det absurde.

Paradokset om den manglende firkant er ganske enkelt en logisk matematisk hypotese, som i sidste ende er baseret på en visuel illusion, hvilket fører os til en forkert konklusion.

Når man konstruerer en trekant med andre geometriske former, kan formerne omarrangeres for at skabe en anden trekant med samme højde og bredde, men med et ekstra mystisk område. Hvad er det så, der foregår?

matematiske paradokser
Det manglende kvadratparadoks er en enkel og sjov matematikopgave. (Kilde: Wikipedia)

Svaret er ganske enkelt... ingen af trekanterne er en "sand" trekant. Der findes en lille kurve langs hypotenusen af den konstruerede form, som det menneskelige øje opfatter som en trekant. Det lille tomme rum er i virkeligheden kun resultatet af en lille deformation af den perfekte trekant med dens let afrundede kanter. Du behøver ikke din matematiklærer til at hjælpe dig med at regne det ud!

Læs mere om matematiske mysterier gennem tiden.

Teoretiske, men upraktiske matematiske paradokser

Banach-Tarski-paradokset

Denne rene geometriske teori blev demonstreret i 1924 og bygger på valgaxiomet i konstruktionen af ikke-målbare mængder. Det kan sammenfattes således: man kan dele en kugle i det sædvanlige rum R3 i et (begrænset) antal stykker og derefter samle sidstnævnte igen til to kugler, der er identiske med den første, med den nærmeste forskydning.

Det er mildest talt mærkeligt, det er du sikkert enig i. Faktisk er en sådan ting kun mulig, hvis disse små kuglestykker er umålelige (at indføre et volumen ville f.eks. betyde en selvmodsigelse). Metodologien kræver stadig en vis afklaring ... Jeg vil lade dig prøve det i virkeligheden!

Neumann's plane geometri

I 1929 drev John von Neumann sine samtidige til vanvid.

Han afveg fra valgaxiomet for at opdele et kvadrat i et (begrænset) antal "punktmængder". Takket være polerede transformationer, der bevarer deres overflader, fik han så ..ikke to kugler, men to firkanter.

Albert Einstein. Både en mester i matematik og et idol for gale videnskabsmænd. En mand, der ikke havde brug for matematisk hjælp. (Kilde: unsplash)

Det problem, som dette paradoks bragte frem i lyset, gjorde det muligt for Laczkovich i 2000 at forklare denne nedbrydning af det indre af en firkantet enhed (lige store afgrænsede mængder).

Barber's paradoks

Lærere i gymnasiet er meget glade for at bruge dette, fordi det gør det lettere at undervise eleverne i visse fag.

Forestil dig en regel, der foreskriver, at en barber skal barbere alle og kun dem, der ikke barberer sig selv." Spørgsmålet er, om barberen barberer sig selv?

Hvis han barberer sig selv, bryder han loven, for han er kun forpligtet til at barbere dem, der ikke barberer sig selv. På den anden side, hvis han ikke barberer sit eget skæg, ville han ikke udføre sit arbejde med at barbere dem, der ikke barberer sig selv.

Det er en god måde at vise, hvordan man rationaliserer det absurde på, ikke sandt?

Russells antinomi, der hører til mængdelæren (eller klasselæren), er lidt anderledes og slår rod i det teoretiske felt: "I 1905 viste Bertrand Russell, at begrebet "mængde af mængder, der ikke selv er elementer" er selvmodsigende" (Universal Encyclopaedia, 6, 265).

Hvad nu, hvis Jorden vendte vrangen ud?

Vores næste stop er differentiel og lineær topologi. I 1958 formulerede S. Smale "sphere inversion (eller omvending)". Hvad er det? En lov, som uden tvivl vil underholde studerende, der studerer til bachelor- eller kandidateksamen, men som vil gå tabt for en stor del af den brede befolkning...

Med udviklingen af computeranimation har vi været i stand til at demonstrere muligheden for at vende vrangen ud på en kugle i vores tredimensionelle rum. Men hvem ved, om dette en dag vil medføre en reel teknisk revolution?

Er det noget, du synes lyder spændende? Lær mere matematik som dette med et matematik kursus i sommerferien - så kan du både nyde det sjove ved matematik og blive klar til det nye skoleår!

Modsatte intuitioner fra dag til dag

Simpson-paradokset

Nej, det har ikke noget at gøre med de små gule animationer i tv, som jeg forestiller mig ikke rigtig ville være egnet til rationel abstraktion ...

Statistiker Edward Simpson formulerede dette paradoks i 1951. Det drejer sig om tilsyneladende modstridende datasæt, der blot skyldes, at de anvender forskellige kriterier.

Et eksempel: For at bekæmpe en bestemt sygdom kan man vælge mellem to behandlinger, som begge er blevet testet to gange. I den første test helbredte behandling A 63/90 personer (70 %) og behandling B 8/10 personer (80 %). I den anden test helbredte behandling A 4/10 personer (40 %) og behandling B 45/90 (50 %).

Hvis man ser på testene enkeltvis, ser det ud til, at behandling B har en højere succesrate, men hvis vi samler dataene, kan vi se, at behandling A helbredte 67/100 personer (67 %) og behandling B 53/100 personer (53 %), hvilket betyder, at behandling A er den mest succesfulde behandling.

matematiske paradokser
Matematik | Relative tal, polynomier, algebra ... de emner, der fylder meget i vores matematiktime (Kilde: unsplash)

Simpson's tilsyneladende paradoks eksisterer, når en tendens, der er til stede i forskellige grupper, vendes, når disse grupper kombineres.

Dette paradoks er blevet brugt i mange virkelige anvendelser for at vise, hvordan resultater af sammenlagte data adskiller sig fra talrige individuelle tests. Er er noget du vil lære mere om? Få et matematik a online kursus og bliv knivskarp på simpson-paradokset eller få vendt 3.g's pensum.

Condorcet og valgmetodologi

Denne idé stammer fra den revolutionære matematiker af samme navn.

Det er en metode, der anvendes på et afstemningssystem, hvor vælgerne rangordner deres præferencer i stedet for at stemme på en enkelt kandidat. Alle mulige kandidater stilles op mod hinanden i dette system, og den samlede vinder er den, der foretrækkes frem for alle andre. Læs mere om, hvordan Condorcet-afstemning fungerer her.

Condorcet-systemet giver vælgerne mulighed for at "stemme på deres sande præferencer uden at bekymre sig om at spilde deres stemme på en kandidat med ringe eller ingen chance for at vinde", står der på hjemmesiden ElectionMethods.

matematiske paradokser
At få lektiehjælp af en matematiklærer kan gøre en stor forskel for din forståelse af matematik (Kilde: Unsplash)

Kort sagt, mellem matematiske paradokser og virkelige problemer kan du virkelig have det sjovt!

For at slutte af på en endnu sjovere note, vidste du så, at 2 videnskabsmænd faktisk brugte matematik til at regne ud, hvem hovedpersonen i GOT var? Fortæl det til din matematiklærer!

>

Platformen der forbinder undervisere og elever

Første undervisning gratis

Kunne du lide denne artikel? Skriv en anmeldelse!

5,00 (1 anmeldelse(r))
Loading...

Adil

Adil bor i København, hvor hun arbejder som freelanceoversætter og underviser i dansk. Udover dansk taler Adil også engelsk, russisk og tysk. Når Adil ikke arbejder elsker hun at rejse, løbe og dyrke yoga.